专项13-最值模型-将军饮马-专题训练

最值模型-将军饮马-专题训练

三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

注意：本专题部分题目涉及勾股定理，希望大家全部学习完毕后再完成该专题训练。

【解题技巧】

将军

饮马

模型

图形

原理

两点之间线段最短

两点之间线段最短

三角形三边关系

特征

A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值

A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值

A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值

转化

作其中一个定点关于定直线l的对称点

先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点

作其中一个定点关于定直线l的对称点

题型1: 求两条线段和最小值

例1．（湖北江夏初二月考）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为_____．

变式1．（甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．

变式2．（广东新丰·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是______．

变式3．（湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．

变式4．（江阴市敔山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．

请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　         　；

（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．

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