专项12-角的平分线的性质-七大题型

角的平分线的性质-七大题型

【知识点1  角平分线的作法】

①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

③画射线OC.即射线OC即为所求.

【题型1  作已知角的角平分线】

【例1】（上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上． （本题有三个结果，三个点分别用字母C、D、E表示）

【变式1-1】（瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．无法确定

【变式1-2】（辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

【变式1-3】（西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上．

（1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）

（2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝　　．

【知识点2  角平分线的性质】

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

【题型2  角平分线的性质的应用】

【例2】（崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（　　）

A．54° B．50° C．48° D．46°

【变式2-1】（蓬江区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为　　．

【变式2-2】（武昌区期中）在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°．

（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；

（2）连接ED，求∠CED的度数．

【变式2-3】（金堂县期末）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝ 　     °．

【题型3  角平分线的性质与等积法】

【例3】（增城区期末）△ABC中，AB＝BC＝CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H．求证OP+OM+ON＝AH．

【变式3-1】（泰和县期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S_△ABC＝28，求DE的长．

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