三角形-八大题型拔尖

三角形章末八大题型总结（拔尖篇）

【题型1  利用三角形的中线求面积】

【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）

A．60 B．56 C．70 D．48

【变式1-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在中，，，若的面积为4，则四边形的面积为      ．

【变式1-2】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为      ．

【变式1-3】（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）【问题情境】

苏科版数学课本八年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？

小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．

【深入探究】

（1）如图2，点在的边上，点在上．

①若是的中线，求证：；

②若，则______．

【拓展延伸】

（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形．

①求证：；

②若，则______．

【题型2  利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】

【例2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（    ）

【变式2-1】（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是         

【变式2-2】（2023秋·安徽·八年级期末）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（    ）

A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6

【变式2-3】（2023秋·浙江杭州·八年级期末）设表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中，若=2020，则满足此条件的三角形共有    个．

【题型3  利用三角形的三边关系化简或证明】

【例3】（2023·八年级单元测试）如图，已知点为内任意一点.证明：

（1）.

（2）.

（3）若，，为三个城镇， ，要在内建造供水站向三个城镇按如图路线供水，则所需供水管长度应满足什么条件？

【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．

【变式3-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点．

(1)试探究与的大小关系；

(2)试探究与的大小关系；

(3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系．

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