专题09 与高中数学知识衔接的信息给予问题

专题09 与高中数学知识衔接的信息给予问题

1. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．

2. 若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ）

A. 5 B. 2 C. 1 D. 0

3．研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．

（1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．

例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．

解决问题

如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．

（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 　丙　；

②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．

4. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax²（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x²，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．  

（1）【基础训练】

请分别直接写出抛物线y＝2x²的焦点坐标和准线l的方程：　   　，　   　．

（2）【技能训练】

如图2所示，已知抛物线y＝x²上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；

（3）【能力提升】

如图3所示，已知过抛物线y＝ax²（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；

（4）【拓展升华】

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．

如图4所示，抛物线y＝x²的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣

1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．

6.阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若a^x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log_aN，比如指数式2⁴＝16可以转化为对数式4＝log₂16，对数式2＝log₅25，可以转化为指数式5²＝25．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

log_a（M•N）＝log_aM+log_aN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：

设log_aM＝m，log_aN＝n，则M＝a^m，N＝aⁿ，

∴M•N＝a^m•aⁿ＝a^m+n，由对数的定义得m+n＝log_a（M•N）

又∵m+n＝log_aM+log_aN

∴log_a（M•N）＝log_aM+log_aN

根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式3⁴＝81转化为对数式　    　；

（2）求证：log_a＝log_aM﹣log_aN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

（3）拓展运用：计算log₆9+log₆8﹣log₆2＝　   　．

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