专题31 新定义与阅读理解创新型问题共27题

专题31新定义与阅读理解创新型问题（共27题）

一．选择题（共3小题）

1．（2022•娄底）若10^x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．

例如：10²＝100，则2＝lg100；10⁰＝1，则0＝lg1．

对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．

例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）²+lg5×lg2+lg2的值为（　　）

A．5 B．2 C．1 D．0

2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．

下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．

其中正确的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x²﹣x上，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题（共1小题）

4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 　   　．

三．解答题（共23小题）

5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax²+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx²+ax+c

称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x²+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x²+2x+1．已知抛物线C₁：y＝4ax²+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C₂．

（1）写出C₂的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；

（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C₁，C₂于点M，N．

①当MN＝6a时，求点P的坐标；

②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C₂的最大值与最小值的差为2a，求a的值．

6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．

（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；

②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；

（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；

（3）若函数y＝﹣x²+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．

例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．

又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．

（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；

（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．

8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×8³+7×8²+4×8¹+5×8⁰＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．

（1）八进制数3746换算成十进制数是 　   　；

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