专题13 二次函数综合问题共40题

专题13二次函数综合问题（共40题）

一．解答题（共40小题）

1．（2022•孝感）抛物线y＝x²﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．

（1）直接写出点B和点D的坐标；

（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；

（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S₁和S₂，求的最大值．

2．（2022•武汉）抛物线y＝x²﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．

（1）直接写出A，B两点的坐标；

（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；

（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．

3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x²﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．

（1）请直接写出点A，B，C的坐标；

（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．

（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．

（1）求a，b满足的关系式及c的值；

（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；

（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．

5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x²+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．

（1）求二次函数的表达式；

（2）①求证：△OCD∽△A′BD；

②求的最小值；

（3）当S_△OCD＝8S_△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．

6．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x²+bx+c．

（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．

（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；

（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x²+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．

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