第三章 勾股定理2类知识拓展

第三章 勾股定理（知识拓展）

知识拓展

毕达哥拉斯树（勾股树）

是由 毕达哥拉斯根据 勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。 直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。而同一次数的所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积， 直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。

典例1 

如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则正方形E的面积是（　　）

A．47 B．37 C．34 D．13

典例2 

如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中共有正方形的个数是（　　）

A．31 B．32 C．63 D．64

典例3

“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为______．

跟踪训练1 

毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是______．

跟踪训练2

在如图所示的“勾股树”图案中，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知最大正方形的边长为10，则图中所有正方形的面积之和为______．

跟踪训练3 

回看古人数学成就，领略数学先贤智慧．认真阅读并理解下面的材料，完成填空．

材料一：勾股定理，被称为“几何学的基石”．在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论就是勾股定理．在古时候，我国数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．成书于公元前世纪的《周髀算经》中有“勾三股四弦五”的记载，意思是在一个直角三角形中，如果较短直角边的长度为，较长直角边的长度为，斜边的长度则为（如图），可根据勾股定理计算得出．

材料二：在西方，最早提出并证明勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯，因此也被称为毕达哥拉斯定理．他根据勾股定理，在初始的大正方形上，做出了两个相邻的小正方形，两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积（如图），再以此类推，无限重复地做出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”（如图）．

(1)在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别为厘米和厘米，根据勾股定理：（　　），得到这个直角三角形的斜边的长度为（　　）厘米；

(2)如图4所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中，最大的正方形的边长是厘米，则正方形、、、的面积和是（　　）平方厘米．

赵爽弦图

典例4

如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

跟踪训练4

图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．

(1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；

(2)当，时，求图2中空白部分的面积．

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