3.2 勾股定理的逆定理 同步练习

第3章　勾股定理

3.2　勾股定理的逆定理

基础过关全练

知识点1　勾股定理的逆定理

1.(2023江苏连云港期末)△ABC的三边长分别为a，b，c.下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数为(　　)

①∠A=∠B-∠C； ②a²=(b+c)(b-c)；

③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5； ④a∶b∶c=5∶12∶13.

A.1 B.2 C.3 D.4

2.如图，在△ABC中，AB=BC=CA=4 cm，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1 cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为t s，当t=　　　　 时，△BPQ是直角三角形.

(1)判断△ABC是不是直角三角形；

(2)求△ABC的面积.

知识点2　勾股数

4.观察下列几组有规律的勾股数，并填空：①610；②817；

③1026；④1237，则第⑤组勾股数为　　　　　　. 

能力提升全练

5.(2021湖南常德中考)阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m=a²+b²，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的是(　　)

A.②④ B.①②④ C.①② D.①④

6.(2023江苏苏州相城月考)如图，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10.AD为△ABC的角平分线，CD的长度为(　　)

A.2 B. C.3 D.

7.(2022湖北黄冈、孝感、咸宁中考)勾股定理最早出现在我国古代著作《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五.”观察下列勾股数：35；513；725；……，这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：610；817；……，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是　　　　(用含m的式子表示). 

8.(2023江苏苏州昆山期中)如图，在△ABC中，直线EF、MN分别为线段AB、AC的垂直平分线，交BC于点F、N，若BF=4，FN=3，CN=5，则S_△ABC=　　　　. 

9.(2023江苏连云港期末)如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，DE⊥AB，DE=7，△ABE的面积为35.

(1)求AB的长；

(2)求△ACB的面积.

素养探究全练

10.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为一边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ.

(1)观察并猜想AP与CQ的数量关系，并证明你的结论；

(2)若PB=8，PA=6，PC=10，求∠APB的度数.

11.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图①，则有a²+b²=c²；当△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a²+b²>c².理由：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x.

在Rt△ADC中，AD²=b²-x²，

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