练习题-15.2 线段的垂直平分线

15.2  线段的垂直平分线

专题一  线段垂直平分线知识的应用

1.如图，△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF.

求证：BE+CF＞EF．

M

M

2.△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D，E，F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF的中垂线，求证BF=2AD.

3.已知，如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE=DF．求证：AD垂直平分EF．

    合作学习小组的两位同学在证明以上结论时的过程如下：

    学生甲：因为DE=DF，所以点D在线段EF的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），所以AD垂直平分EF．

    学生乙：因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD，所以Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）,所以AE=AF（全等三角形的对应边相等），所以A点在线段EF的垂直平分线上，又因为DE=DF，所以点D在线段EF的垂直平分线上，所以AD垂直平分EF．

    分析两位同学的证明过程，指出谁对谁错，并说明错误的原因． 

专题二  作图与实际问题

4.如图，A，B，C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站,要求变电站到三镇的距离相等,请你作出变电站的位置（用P点表示），并说明你的理由.

·A

·B

·C

·A

·B

·C

5.A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．

（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．

（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．

6.如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．

（1）设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在公路AB上分别画出P，Q的位置（保留作图痕迹）．

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