第1章 勾股定理4个知识归纳

第1章 勾股定理（知识归纳）

一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）

二、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；

（2）验证：与是否具有相等关系：
若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；
若时，△ABC是锐角三角形；
若时，△ABC是钝角三角形． 

2.勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

要点：

常见的勾股数：（1）3、4、5；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）7、24、25；（5）9、40、41.

如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的（1）、（2）、（4）、（5）四组勾股数，它们具有以下特征：

①较小的直角边为连续奇数；

②较长的直角边与对应斜边相差1.

③假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）

三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

四、勾股定理的应用 

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）解决与勾股定理有关的面积计算；

（4）勾股定理在实际生活中的应用．