八年级下册下数学专项练习06四华师平行边形中动点最值问题

专项06　平行四边形中动点最值问题

类型一　一定一动

1.(2023河北保定雄县期中)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点M是边AB上一点(不与点A，B重合)，作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是(　　)

A.1.5 B.2 C.2.4 D.2.5

2.(2022江苏南京鼓楼期末)如图，在▱ABCD中，点D是定点，点A，C分别是直线l₁和l₂上的两个动点，l₁∥l₂，若点D到直线l₁和l₂的距离分别是1和4，则对角线BD长度的最小值是　　　　. 

类型二　两定一动

3.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF=1，则DE+BF的最小值为多少?

类型三　一定两动

4.(2023新疆乌鲁木齐八一中学模拟)菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，则CQ+PQ的最小值为　　　　. 

类型四　三动点

5.(2023天津东丽期中)如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的动点，则PM+PN的最小值是多少?

专项06　平行四边形中动点最值问题

答案全解全析

1.C　连结CM，如图所示.

∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB===10，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∴∠CEM=∠MFC=90°，又∵∠ACB=90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF=CM.∵点P是EF的中点，∴PF=EF.当CM⊥AB时，CM的长度最小，则EF的长度最小，则PF的长度最小.此时，△ABC的面积=AB·CM=AC·BC，∴CM===4.8，∴EF=4.8，∴PF=EF=2.4，故选C.

2.答案　5

解析　如图，过点D作DM⊥l₁于点M，延长DM交l₂于点H，过点B作BN⊥l₂于点N，连结MN，设CD与l₁交于点E，AB与l₂交于点F，

∵DM⊥l₁，l₁∥l₂，∴DM⊥l₂，∠AED=∠DCF，

∵点D是定点，且点D到直线l₁和l₂的距离分别是1和4，

∴DM=1，DH=4，∴MH=DH-DM=4-1=3，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD=BC，∠ADC=∠CBA，

∴∠BFC=∠DCF，∴∠AED=∠BFC，

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF(A.A.S.)，

∴BN=DM=1，根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，当MN⊥l₁时，BD的长度取最小值，最小值为DM+BN+MH的长，

∴对角线BD长度的最小值是1+3+1=5.

3.解析　如图，连结BD交AC于O，作DM∥AC，使得DM=EF=1，连结BM，

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