八年级下册下数学专项练习04四北京版边形中的动点问题

专项04　四边形中的动点问题

类型1　动点与最值问题

1.(2022四川内江期末)如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的长的最小值是　(　　)

A. B.3 C. D.

第1题图 第2题图

2.(2023山东临沂郯城期中)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，分别在AD、BD上取点P、Q(端点除外)，连接PQ，E、F分别为AP、PQ的中点，连接EF，在P、Q运动的过程中，线段EF的最小值为　(　　)

A.1.2 B.1.5 C. D.2

3.(2023北京海淀清华附中期中)如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=3，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上.连接OD，则线段OD的长度的最大值是　　　　. 

类型2　动点与特殊四边形问题

4.(2023北京丰台期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100 cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤25)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由.

5.(2022北京房山期末)矩形ABCD中，点M是对角线BD上的一个动点(点M不与点B，D重合)，分别过点B，D向射线AM作垂线，垂足分别为点E，F，点O为BD的中点，连接OE，OF.

(1)如图1，当点M与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系，并加以证明；

(2)当点M运动到图2所示的位置时，请你在图2中补全图形，判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，加以证明；若不成立，说明理由.

专项04　四边形中的动点问题

答案全解全析

1.A　如图，连接CM，

∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，

∴∠CPM=∠CQM=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=3，CD=AB=4，∠BCD=90°，∴∠BCD=∠CPM=∠CQM=90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ=CM，由勾股定理得BD===5，当CM⊥BD时，CM的长最小，此时，S_△BCD=BD·CM=BC·CD，∴CM===，

∴PQ的长的最小值为.故选A.

2.A　如图，连接AQ，∵E、F分别为AP、PQ的中点，

∴EF=AQ，根据点到直线的距离可得当AQ⊥BD时，AQ最小，则EF也最小，

∵矩形ABCD中，AB=3，BC=AD=4，

∴BD==5，当AQ⊥BD时，∵S_△ABD=AB·AD=BD·AQ，

∴×3×4=×5×AQ，∴AQ=，

∴EF_最小值=×==1.2，故选A.

3.　答案　9 

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