八年级下册下数学专项练习08北京版以数学文化为背景的

专项08　以数学文化为背景的试题

类型1　古代数学文化与一元二次方程

1.(2023辽宁营口二模)杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家.他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”.他所著的《田亩比类乘除捷法》提出了这样一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步).问阔及长各几步.”若设阔为x步，则可列方程为　(　　)

A.x(x-6)=864 B.x(x-12)=864 C.x(x+12)=864 D.x(x+6)=864

2.三国时期赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中介绍了构图法解一元二次方程，方程x²+3x-40=0的求解思路：如图，构造一个大正方形，其边长为x+x+3，它的面积可利用正方形的面积公式求解，另一方面，这个大正方形的面积等于四个全等矩形的面积加上中间小正方形的面积.据此可求得x²+3x-40=0的根.请你根据以上思路求x²+3x-40=0的根.

类型2　现代数学文化与一元二次方程

3.(2021江苏南京鼓楼期末改编)华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于x²+bx+c=0，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：

x²+bx+c=(x-m)(x-n)(从这里可以看出方程的解为x₁=m，x₂=n)，即x²+bx+c=x²-(m+n)x+mn，因为m+n=-b，所以m、n的平均数为-，不妨设m=-+p，n=--p，利用x₁·x₂=mn，得·=c，所以-p²=c，即能求出p的值.举例如下：解一元二次方程x²-2x-4=0，由于-=1，所以设方程的两个根分别为1+p，1-p，而1²-p²=-4，解得p=±，所以方程的解为x₁=1+，x₂=1-.

请运用以上方法解下列方程：

(1)x²-2x-4=0； (2)3x²-x+=0.

专项08　以数学文化为背景的试题

答案全解全析

1.C　∵宽比长少一十二步，且阔(宽)为x步，

∴长为(x+12)步，又∵直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，∴根据题意可列方程为x(x+12)=864.故选C.

2.　解析　∵x²+3x-40=0，∴x²+3x=40，

∵大正方形的面积等于四个全等矩形的面积加上中间小正方形的面积，∴(x+x+3)²=4x(x+3)+(x+3-x)²，

∴(2x+3)²=4(x²+3x)+9，∴(2x+3)²=4×40+9，

∴(2x+3)²=169，∴2x+3=±13，∴x₁=5，x₂=-8，

∴方程x²+3x-40=0的根为x₁=5，x₂=-8.

3.　解析　(1)x²-2x-4=0，∵-=，∴设方程的两个根分别为+p，-p，

∵3-p²=-4，∴p=±，∴x₁=+，x₂=-.

(2)3x²-x+=0，两边同时除以3得x²-x+=0，∵-=，∴设方程的两个根分别为+p，-p，∵-p²=，∴p=±，

∴x₁=，x₂=.